A Fase de um sinal

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Operator - Ableton Live

Timbre

O Princípio da Amostragem

Aliasing e Anti-Aliasing

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Spectrum Analyzer - Ableton Live

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Componentes Harmônicas

Quando dizemos que um sinal está representado no domínio da frequência, o representamos como a composição de componentes harmônicas que se diferem em apenas três características: Frequência, Amplitude e Fase. 

Componentes de frequência são padrões oscilatórios circulares. Suas projeções horizontais e verticais são os famigerados cosseno e seno. Repare na figura abaixo como o movimento do seno parece seguir o cosseno de uma forma atrasada: Essa defasagem é de 90 graus:

•  As projeções horizontais = Cos(ângulo) 
•  As projeções verticais= Sin(ângulo)

A amplitude do cosseno e do seno variam ao passo que o ângulo varia.

Somando componentes de diferentes frequência, amplitude e fase, um sinal é formado. Repare na figura abaixo como o sinal no Gráfico Vermelho é resultado da junção (soma) das três componentes de frequência (repare também como as componentes são diferenciadas no domínio da frequência: Gráfico Azul - que é a FFT do sinal no Gráfico Vermelho).

Repare no Gif abaixo (graças ao efeito da Amostragem gerado pela câmera de vídeo) que algumas componentes de frequência que compõe o movimento da corda do violão estão presentes formando diferentes padrões de oscilação. Isso pois a vibração da corda do violão não é composto de apenas uma componente de frequência, mas sim várias E todas essas são somadas afim de formar o Timbre, que é um sinal.

Então qualquer som que escutamos é composto da soma desses diferentes padrões circulares? Sim! Uma música é composta da soma de padrões circulares com diferentes frequências, amplitudes e fases. 

Utilizando softwares que trabalham com sintetizadores de áudio, como o Ableton, é possível demostrar como compor um sinal com essas componentes de frequência e visualizar tais componentes com o Spectrum (FFT). Note na figura abaixo que configurando o sintetizador Operator para gerar apenas três componentes de frequência, essas são facilmente identificadas no sinal utilizando o Spectrum (FFT).

Abaixo um espetacular vídeo demostrando de forma intuitiva, com animações, a ideia das componentes harmônicas, Transformada de Fourier e Série de Fourier:

A Transformada Rápida de Fourier (FFT)

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A Série de Fourier

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A Transformada de Fourier

A Transformada de Fourier é um método matemático para alternar o domínio de sinais (entre o Domínio da Frequência e Domínio do Tempo). Quando um sinal é descrito no domínio do tempo, é apresentado a amplitude que o sinal possui para cada instante de tempo. Quando o mesmo sinal é descrito no domínio da frequência, é apresentado amplitude de cada componente infinitesimal de frequência que está presente nesse sinal. Na figura abaixo é apresentado um sinal composto por  apenas três Componentes Harmônicas com diferentes valores de frequência e amplitude (a fase seria descrita em outro gráfico), porém o sinal pode ter infinitas Componentes Harmônicas com valores de frequência espaçados infinitesimalmente: Dessa forma o segundo gráfico não indicaria apenas três Componentes Harmônicas, mas sim seria um traçado contínuo. 

Quando um sinal é descrito no domínio da frequência, entendemos que esse sinal é composto por uma soma infinitesimal de Componentes Harmônicas. Para converter um sinal do domínio do tempo para o domínio da frequência, fazemos a Correlação de todo o sinal ou de um trecho desse sinal com cada frequência infinitesimal que uma Componente Harmônica poderia assumir. Como se a frequência do sinal de comparação, que seria uma Componente Harmônica, fosse subindo e para cada valor infinitesimal de frequência assumido, fizéssemos uma comparação. Dessa forma é obtida uma medida de quanto de cada frequência o sinal, como uma música, possui. Assim comparamos uma música com todas as frequências possíveis e verificamos com qual frequência a música possui maior Correlação.

As integrais abaixo são as Correlação feitas para se transformar o domínio do sinal f(t) para o domínio da frequência F(w) e vice-versa. 

Como computadores não conseguem executar somas infinitesimais pois essas necessitam de memória infinita: Aplicações que automatizam essas transformações com uso de computador, como o famigerado Spectrum Analyzer nativo do software Ableton Live, é feito com o uso da Transformada Rápida de Fourier (FFT) que é uma versão digital da Transformada de Fourier.

Link para um bom site falando sobre o domínio da frequência.

Correlação de Sinais

    A Correlação que duas coisas possuem nada a mais é do que uma medida de semelhança. O quanto algo se parece com outro algo. Essa medida é amplamente utilizado nas áreas que lidam com Sinais. Os Sinais são todas as manifestações capazes de serem lembradas (armazenadas). Quando um despertador toca, ele está emitido um sinal. Usamos constantemente sinais para nos guiar. Nossos sentidos são receptores de sinais. A Correlação acaba se tornando algo extremamente genérico. Porém existem alguns contextos onde ela é mais presente de forma aplicada.

A  Correlação de Sinais na música:

    Alguém sabe porque um violino Stradivarius vale milhões? Ninguém sabe ao certo oque nele faz seu som tão excepcional, porém sabemos como funciona o mecanismo da natureza que está por trás disso gerando seu excepcional timbre. A medida que o atrito entre a corda e o arco geram vibrações que são distribuídas para o corpo do violino, esse por sua vez vibrará com mais intensidade nas frequências que mais se correlacionam com a sua estrutura. Por isso um violino Stradivarius vale milhões... Porque ele vibra nas frequências que mais se correlacionam com as frequências que fazem a música gerar prazer. 

  As vibrações também são propagadas pelo braço de quem segura o instrumento. Essa por sua vez sente o sinal de vibração, com o tato assim como com os ouvidos; para que possa regular o modo como manuseia o instrumento. Pois quem toca se lembra como seu instrumento vibra.

Um modo de afinar um instrumento de corda e tocar duas de suas cordas simultaneamente. 

Tais começam a emitir sinais sonoros mixados pelo ar até nossos ouvidos. 

Sabemos quando as cordas estão com a mesma afinação (vibrando na mesma frequência), quando o som que cada uma emite, juntos, parecer ser um só: se tornando uniforme, homogêneo e intenso.

    

    Na matemática, podemos fazer a correlação entre dois sinais fazendo a multiplicação de instante a instante entre cada sinal, Após multiplicar instante a instante os sinais, todos os resultados das multiplicações são somados... Quanto maior o resultado disso, maior é a correlação entre cada sinal.

    Na música digital: a correlação entre duas músicas pode ser feita fazendo instante a intente uma multiplicação da Amostra de cada música daquele respectivo instante. Somando todos os resultados das multiplicações de cada instante: Resulta o quanto uma música se parece com a outra.

   

     A correlação é a ideia por trás das ferramentas que analisam sinais no domínio da frequência, como a transformada de Laplace, transformada de Fourier, série de Fourier, transformada Z, transformada rápida de Fourier (FFT) e etc.